Fonksiyonlar

Fonksiyon kavramı

A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, A kümesinin her elemanını B kümesinin yalnız bir elemanına eşleyen kurala A'dan B'ye fonksiyon denir ve f: A → B biçiminde gösterilir. A tanım kümesi, B değer kümesi; f(A) ise görüntü kümesidir. Tanım kümesinde açıkta kalan eleman olursa ya da bir eleman iki farklı elemana giderse bağıntı fonksiyon olmaz.

Fonksiyon türleri

• Bire bir: Farklı elemanların görüntüleri farklıdır.
• Örten: Değer kümesinde açıkta eleman kalmaz; görüntü kümesi değer kümesine eşittir.
• Birim (özdeşlik) fonksiyon: f(x) = x.
• Sabit fonksiyon: f(x) = c; her elemanın görüntüsü aynıdır.
• Doğrusal fonksiyon: f(x) = ax + b.

Değer bulma ve bileşke

f(x) ifadesinde x yerine verilen sayı ya da ifade yazılır. f(2x − 1) gibi bir ifade verilip f(5) istenirse, parantez içi 5'e eşitlenir: 2x − 1 = 5 ⇒ x = 3 bulunur ve bu x değeri sağ tarafa yazılır.

Bileşke: (f∘g)(x) = f(g(x)). İşlem sağdan sola yapılır: önce g, sonra f uygulanır. Genel olarak f∘g ≠ g∘f'dir; bileşkenin değişme özelliği yoktur, birleşme özelliği vardır.

Ters fonksiyon

• Yalnız bire bir ve örten fonksiyonların tersi vardır.
• f(a) = b ise f⁻¹(b) = a.
• f(x) = ax + b ise f⁻¹(x) = (x − b) / a.
• f(x) = (ax + b) / (cx + d) ise f⁻¹(x) = (−dx + b) / (cx − a): a ile d yer ve işaret değiştirir.
• (f∘f⁻¹)(x) = (f⁻¹∘f)(x) = x.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: f(x) = 2x + 3 ve g(x) = x − 1 ise (f∘g)(2) ve (g∘f)(2) kaçtır?
Çözüm: g(2) = 1, f(1) = 5 ⇒ (f∘g)(2) = 5. f(2) = 7, g(7) = 6 ⇒ (g∘f)(2) = 6. Sonuçların farklı olması bileşkenin değişme özelliği olmadığını gösterir.

Örnek 2: f(2x − 1) = 4x + 5 ise f(5) kaçtır?
Çözüm: 2x − 1 = 5 ⇒ x = 3. f(5) = 4 · 3 + 5 = 17.

Örnek 3: f(x) = (2x + 1) / (x − 3) ise f⁻¹(x) nedir?
Çözüm: a = 2, d = −3 yer ve işaret değiştirir: f⁻¹(x) = (3x + 1) / (x − 2). Kontrol: f(1) = 3 / (−2) = −1,5; f⁻¹(−1,5) = (−4,5 + 1) / (−3,5) = 1 ✓.

Sınavda dikkat

• Bileşkede sıra önemlidir: f∘g'de önce g uygulanır.
• f⁻¹(k) sorulduğunda tersini bulmak yerine f(x) = k denklemini çözmek çoğu zaman daha hızlıdır.
• f⁻¹(x) ile 1/f(x) aynı şey değildir.
• Tanım kümesinde paydayı sıfır yapan değer bulunamaz.