İşçi ve Havuz Problemleri

Temel ilke: birim zamanda yapılan iş

Bir işin tamamı 1 kabul edilir. Bir işi tek başına a günde bitiren kişi 1 günde işin 1/a'sını yapar. t günde yaptığı iş t/a'dır.

• İki kişi birlikte: 1/a + 1/b = 1/t (t: birlikte bitirme süresi)
• İki kişi için kısa yol: t = a · b / (a + b)
• Üç kişi: 1/a + 1/b + 1/c = 1/t
• Biri birlikte süre biliniyorsa diğeri: 1/b = 1/t − 1/a

Havuz (musluk) soruları

• Dolduran musluk +, boşaltan musluk (gider) − alınır.
• Dolduran a saatte, boşaltan b saatte (a < b) ise ikisi açıkken: 1/a − 1/b = 1/t.
• Havuzun bir kısmı doluysa yalnız kalan kısım hesaba katılır.

İşçi sayısı – süre ilişkisi

Aynı hızda çalışan işçiler için işçi sayısı ile süre ters orantılıdır: işçi × gün (× günlük saat) = sabit iş miktarı. 6 işçinin 10 günde yaptığı işi 4 işçi 6 · 10 / 4 = 15 günde yapar.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: A bir işi 12 günde, B 6 günde bitiriyor. Birlikte kaç günde bitirirler?
Çözüm: 1/12 + 1/6 = 3/12 = 1/4 ⇒ 4 gün. (Kısa yol: 12 · 6 / 18 = 4.)

Örnek 2: A ve B bir işi birlikte 6 günde, A tek başına 10 günde bitiriyor. B tek başına kaç günde bitirir?
Çözüm: 1/6 − 1/10 = 5/30 − 3/30 = 2/30 = 1/15 ⇒ 15 gün.

Örnek 3: Bir musluk boş havuzu 6 saatte dolduruyor, dipteki gider dolu havuzu 9 saatte boşaltıyor. İkisi birlikte açılırsa boş havuz kaç saatte dolar?
Çözüm: 1/6 − 1/9 = 3/18 − 2/18 = 1/18 ⇒ 18 saat.

Örnek 4: Örnek 1'deki A işe 3 gün tek başına çalışıp ayrılıyor; kalan işi B kaç günde bitirir?
Çözüm: A 3/12 = 1/4'ünü yapar; kalan 3/4. B günde 1/6 yapar: (3/4) ÷ (1/6) = 4,5 gün.

Verim (hız) farkı olan işçiler

"A'nın verimi B'nin 2 katıdır" ifadesi, A'nın aynı işi B'nin yarı süresinde bitirdiği anlamına gelir. B işi 2t günde bitiriyorsa A t günde bitirir. Bu tür sorularda hızlar 2k ve k alınıp birlikte günde 3k iş yapıldığı düşünülür; iş miktarı da gün sayılarının EKOK'u kadar birim seçilebilir.

Sınavda dikkat

• Süreler değil, hızlar (1/süre) toplanır; 12 + 6 = 18 gün gibi bir toplama yanlıştır.
• Birlikte çalışma süresi, en hızlı kişinin tek başına süresinden her zaman kısadır.
• Gider açıksa işaret eksi olur; giderin hızı daha büyükse havuz hiç dolmaz.
• Ara verilen, sonradan katılan kişilerde her kişinin çalıştığı süreyi ayrı yaz.