İşlem ve Modüler Aritmetik

Tanımlı işlem

Soruda *, Δ, ○ gibi bir sembolle yeni bir işlem tanımlanabilir. Örneğin a * b = 2a + b ise 3 * 5 = 2·3 + 5 = 11 olur. Kural yalnızca tanımda yazdığı gibi uygulanır; sembolün alışılmış anlamı aranmaz. İşlem tablo ile de verilebilir: satırdaki eleman ile sütundaki elemanın kesişimi sonucu gösterir.

İşlemin özellikleri

• Değişme: Her a, b için a * b = b * a. Tablo, sol üstten sağ alta inen köşegene göre simetrikse işlem değişmelidir.
• Birleşme: (a * b) * c = a * (b * c).
• Etkisiz (birim) eleman e: Her a için a * e = e * a = a. Toplamada 0, çarpmada 1'dir.
• Ters eleman: a * a' = a' * a = e koşulunu sağlayan a'. Önce etkisiz eleman bulunur, sonra ters eleman aranır.
• Yutan eleman: Her a için a * y = y olan eleman; çarpmada 0'dır.

Modüler aritmetik

a ve b sayıları n ile bölündüğünde aynı kalanı veriyorsa a ≡ b (mod n) yazılır. Mod n'de kalanlar 0, 1, …, n − 1'dir. Toplama, çıkarma ve çarpmada önce kalanlar alınıp sonra işlem yapılabilir:

• (a + b) mod n = [(a mod n) + (b mod n)] mod n
• (a·b) mod n = [(a mod n)·(b mod n)] mod n
• Negatif sayıların kalanı, n eklenerek pozitife çevrilir: −3 ≡ 4 (mod 7).
• Üslü ifadelerde kalanlar belli bir devir ile tekrar eder; devir uzunluğu bulunup üs bu uzunluğa bölünür.

Gün, saat ve son basamak

Gün problemleri mod 7, saat problemleri mod 24 (ya da 12) ile çözülür. Bir sayının son basamağı, sayının 10'a bölümünden kalandır; 2, 3, 7, 8 ile biten sayıların kuvvetlerinde son basamak 4'lü devir yapar.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: a * b = a + b + ab işleminde etkisiz eleman ve 2'nin tersi nedir?
Çözüm: a + e + ae = a ⇒ e(1 + a) = 0 ⇒ e = 0. 2 + x + 2x = 0 ⇒ 3x = −2 ⇒ x = −2/3.

Örnek 2: 3¹⁰⁰ sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm: 3¹ ≡ 3, 3² ≡ 4, 3³ ≡ 2, 3⁴ ≡ 1 (mod 5). Devir 4'tür. 100 = 4·25 olduğundan 3¹⁰⁰ ≡ 1²⁵ = 1.

Örnek 3: Bugün salı ise 100 gün sonra hangi gündür?
Çözüm: 100 = 7·14 + 2. Salıdan 2 gün ileri: perşembe.

Sınavda dikkat

• Ters eleman sorusunda etkisiz eleman bulunmadan işlem yapılmaz.
• a * b = 2a + b gibi işlemlerde sıra önemlidir; 3 * 5 ile 5 * 3 farklı sonuç verir.
• Devirli kalanlarda üs devre tam bölünüyorsa kalan, devrin son elemanıdır.
• “n gün sonra” sorusunda bugünden sayılmaya başlanmaz; kalan kadar ileri gidilir.