Katı Cisimler

Prizmalar

Tabanları eş ve paralel çokgenler olan cisimlerdir. Her prizmada hacim = taban alanı × yükseklik, yanal alan = taban çevresi × yükseklik (dik prizmada).

• Dikdörtgenler prizması (a, b, c): Hacim a·b·c, yüzey alanı 2(ab + ac + bc), cisim köşegeni √(a² + b² + c²).
• Küp (a): Hacim a³, yüzey alanı 6a², cisim köşegeni a√3, yüzey köşegeni a√2. Küpün 12 ayrıtı, 8 köşesi, 6 yüzü vardır.

Silindir

• Hacim: πr²h
• Yanal alan: 2πrh (açınımı bir dikdörtgendir)
• Tüm yüzey alanı: 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)

Piramit ve koni

• Piramit hacmi: taban alanı × yükseklik ÷ 3
• Koni hacmi: πr²h ÷ 3
• Koninin ana doğrusu ℓ için ℓ² = r² + h²; yanal alan πrℓ, tüm alan πr² + πrℓ.
• Aynı taban ve yükseklikteki koninin hacmi silindirin üçte biridir.

Küre

• Hacim: (4/3)πr³; yüzey alanı: 4πr²

Birimler ve benzerlik

• 1 dm³ = 1 litre, 1 m³ = 1000 litre, 1 cm³ = 1 mililitre.
• Benzer iki cisimde uzunluk oranı k ise alan oranı k², hacim oranı k³'tür.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: Ayrıtları 3, 4 ve 12 cm olan dikdörtgenler prizmasının hacmi, yüzey alanı ve cisim köşegeni nedir?
Çözüm: Hacim 3·4·12 = 144 cm³. Yüzey 2(12 + 36 + 48) = 192 cm². Köşegen √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 cm.

Örnek 2: Taban yarıçapı 3, yüksekliği 4 olan dik koninin hacmi ve tüm yüzey alanı nedir?
Çözüm: ℓ = √(9 + 16) = 5. Hacim π·9·4 ÷ 3 = 12π. Yanal alan π·3·5 = 15π, taban 9π; tüm alan 24π.

Örnek 3: Bütün ayrıtlarının toplamı 48 cm olan küpün hacmi ve yüzey alanı nedir?
Çözüm: 12 ayrıt olduğundan a = 48 ÷ 12 = 4. Hacim 64 cm³, yüzey 6·16 = 96 cm².

Sınavda dikkat

• Koni ve piramit hacminde ÷ 3 unutulmamalıdır.
• Koninin yanal alanında yükseklik (h) değil ana doğru (ℓ) kullanılır.
• Hacim litre olarak isteniyorsa önce dm³'e çevirin; cm³'ten litreye 1000'e bölünür.
• Küpün ayrıt sayısı 12'dir; “kenarlar toplamı” sorularında 12'ye bölünür.