Özel Üçgenler

Dik üçgen ve Pisagor bağıntısı

Bir açısı 90° olan üçgende dik açının karşısındaki kenar hipotenüstür ve en uzun kenardır. Dik kenarlar a, b, hipotenüs c ise a² + b² = c².

• Sık çıkan tam sayı üçlüleri: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 ve bunların katları (6-8-10, 9-12-15 gibi).
• Hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.
• Dik kenarlar çarpımı = hipotenüs × hipotenüse ait yükseklik: a·b = c·h.

Öklid bağıntıları

Dik açıdan hipotenüse inen yükseklik h, hipotenüsü p ve k parçalarına ayırsın:

• h² = p·k
• p parçasına komşu dik kenar için (dik kenar)² = p·c; k parçasına komşu dik kenar için (dik kenar)² = k·c.

30°-60°-90° üçgeni

Kenarlar a, a√3, 2a oranındadır: 30°'nin karşısı a, 60°'nin karşısı a√3, hipotenüs 2a. Yani 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır. Eşkenar üçgenin yüksekliği bu üçgeni iki tane 30-60-90 üçgenine ayırır.

45°-45°-90° üçgeni

İkizkenar dik üçgendir; kenarlar a, a, a√2 oranındadır. Karenin köşegeni kareyi iki tane 45-45-90 üçgenine ayırır.

İkizkenar ve eşkenar üçgen

• İkizkenar üçgende tepe açısından tabana inen yükseklik aynı zamanda kenarortay ve açıortaydır; tabanı ortalar.
• Kenarı a olan eşkenar üçgende yükseklik a√3 ÷ 2, alan a²√3 ÷ 4'tür.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: Hipotenüsü 13, bir dik kenarı 5 olan dik üçgenin diğer dik kenarı ve hipotenüse ait yüksekliği nedir?
Çözüm: √(169 − 25) = 12. Alan 5·12 ÷ 2 = 30; h = 2·30 ÷ 13 = 60/13.

Örnek 2: Hipotenüsü 10 olan 30-60-90 üçgeninin dik kenarları nedir?
Çözüm: 30°'nin karşısı 10 ÷ 2 = 5, 60°'nin karşısı 5√3.

Örnek 3: Bir dik üçgende hipotenüse inen yükseklik hipotenüsü 4 ve 9 uzunluğunda parçalara ayırıyor. Yükseklik ve alan nedir?
Çözüm: h² = 4·9 = 36 ⇒ h = 6. Hipotenüs 13, alan 13·6 ÷ 2 = 39.

Sınavda dikkat

• Kenarlar bir üçlünün katıysa (ör. 9-12) Pisagor hesabı yapmadan üçüncü kenarı (15) yazın.
• 30-60-90 üçgeninde a√3 kenarı 60°'nin karşısındadır, 30°'nin değil.
• Öklid bağıntısında h² = p·k yalnızca hipotenüse inen yükseklik için geçerlidir.
• Eşkenar üçgen sorularında yükseklik çizip 30-60-90 üçgenine dönüştürmek en kısa yoldur.