Permütasyon - Kombinasyon

Sayma kuralları

• Toplama kuralı: Birbirini dışlayan iki seçenekten biri seçilecekse yollar toplanır (3 otobüs veya 2 tren seferi: 5 yol).
• Çarpma kuralı: Ardışık ve bağımsız aşamalarda yollar çarpılır (3 gömlek, 4 pantolon: 12 farklı giyiniş).

Permütasyon (sıralama)

Sıranın önemli olduğu seçimlerde kullanılır. n farklı elemanın tamamının dizilişi n!, n elemandan r tanesinin sıralı seçimi P(n, r) = n! ÷ (n − r)! ile bulunur.

• Tekrarlı permütasyon: n nesneden a tanesi bir türden, b tanesi başka bir türden özdeşse dizilim sayısı n! ÷ (a!·b!·…).
• Dairesel permütasyon: n farklı kişi yuvarlak masaya (n − 1)! farklı biçimde oturur.
• Yan yana olma: Birlikte olması istenen elemanlar tek blok sayılır; blok içi diziliş ayrıca çarpılır.
• Yan yana olmama: Tüm dizilişlerden yan yana olanlar çıkarılır (tümleyen yöntemi).

Kombinasyon (seçme)

Sıranın önemsiz olduğu seçimlerde kullanılır: C(n, r) = n! ÷ [r!·(n − r)!].

• C(n, 0) = C(n, n) = 1, C(n, 1) = n
• C(n, r) = C(n, n − r); örneğin C(10, 8) = C(10, 2) = 45.
• P(n, r) = C(n, r)·r! — önce seçilir, sonra seçilenler sıralanır.

Geometri uygulamaları

• Herhangi üçü doğrusal olmayan n nokta ile C(n, 2) doğru ve C(n, 3) üçgen çizilir.
• n kenarlı çokgende köşegen sayısı C(n, 2) − n = n(n − 3) ÷ 2.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: ANKARA kelimesinin harfleriyle kaç farklı 6 harfli dizilim yazılır?
Çözüm: 6 harf, A üç kez tekrar ediyor: 6! ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120.

Örnek 2: 8 kişiden 3 kişilik bir komisyon kaç farklı şekilde kurulur? Görevler başkan, yazman, üye olarak ayrılırsa ne olur?
Çözüm: Görev ayrımı yoksa C(8, 3) = 56. Görevler farklıysa sıra önemlidir: P(8, 3) = 8·7·6 = 336.

Örnek 3: 5 kişi düz bir sıraya dizilecek. A ile B yan yana olmak koşuluyla kaç diziliş vardır? Yan yana olmamak koşuluyla kaç?
Çözüm: A–B blok: 4!·2! = 48. Tüm dizilişler 5! = 120 olduğundan yan yana olmayanlar 120 − 48 = 72.

Sınavda dikkat

• “Seçiniz, komisyon, grup” ifadeleri kombinasyon; “sıralayınız, görev dağıtınız, şifre” ifadeleri permütasyon işaretidir.
• Yan yana koşulunda blok içindeki kişilerin yer değiştirmesi (2!) unutulmamalıdır.
• Yuvarlak masada n! değil (n − 1)! kullanılır.
• “En az bir” sorularında tümleyen (hiç olmayan durumları çıkarma) genellikle en kısa yoldur.