Açılar ve Üçgenler

Açı türleri

• Dar açı: 0° ile 90° arası; dik açı: 90°; geniş açı: 90° ile 180° arası; doğru açı: 180°; tam açı: 360°.
• Toplamı 90° olan iki açı tümler, toplamı 180° olan iki açı bütünler açıdır.
• Kesişen iki doğrunun oluşturduğu ters açılar eşittir.

Paralel doğrularda açılar

İki paralel doğru bir kesenle kesildiğinde:

• Yöndeş açılar eşittir (F kuralı).
• İç ters açılar ve dış ters açılar eşittir (Z kuralı).
• Karşı durumlu açılar (kesenin aynı tarafında, paralellerin arasında kalan) bütünlerdir; toplamı 180°'dir (U kuralı).

Üçgende açılar

• İç açılar toplamı 180°, dış açılar toplamı 360°'dir.
• Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
• Açılarına göre: dar açılı, dik açılı, geniş açılı üçgen; kenarlarına göre: çeşitkenar, ikizkenar, eşkenar üçgen.

Üçgende kenar–açı bağıntıları

• Büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur.
• Üçgen eşitsizliği: Kenarlar a, b, c ise |b − c| < a < b + c. Bu koşulu sağlamayan üç uzunlukla üçgen çizilemez.
• Dik üçgende en uzun kenar hipotenüstür; geniş açılı üçgende en uzun kenar geniş açının karşısındadır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: Bir açının tümleri, bütünlerinin dörtte birine eşittir. Bu açı kaç derecedir?
Çözüm: 90 − x = (180 − x) ÷ 4 ⇒ 360 − 4x = 180 − x ⇒ 3x = 180 ⇒ x = 60°. Kontrol: tümleri 30°, bütünleri 120°, 120 ÷ 4 = 30.

Örnek 2: Bir üçgenin iki iç açısı 50° ve 70°'dir. Üçüncü açı ve 50°'lik açının dış açısı kaçtır?
Çözüm: Üçüncü açı 180 − 120 = 60°. 50°'lik açının dış açısı 180 − 50 = 130°; bu değer komşu olmayan iç açıların toplamına (70 + 60) eşittir.

Örnek 3: İki kenarı 4 ve 9 olan bir üçgenin üçüncü kenarı tam sayıdır. Bu kenar kaç farklı değer alır?
Çözüm: 9 − 4 < x < 9 + 4 ⇒ 5 < x < 13. x = 6, 7, …, 12 olup 7 değer vardır. En büyük çevre 4 + 9 + 12 = 25'tir.

Sınavda dikkat

• Üçgen eşitsizliğinde sınırlar dahil değildir; eşitlik durumunda üçgen oluşmaz.
• Tümler (90°) ile bütünleri (180°) karıştırmayın.
• Paralel doğru sorularında kırık çizgilerde, kırılma noktasından paralel bir yardımcı doğru çizmek işi kolaylaştırır.
• Kenar sıralaması istenirken önce açıları sıralayın; kenarlar aynı sırayı izler.