Analitik Geometri

Koordinat düzlemi

Dik kesişen x (yatay) ve y (dikey) eksenleri düzlemi dört bölgeye ayırır. Bir nokta (x, y) sıralı ikilisiyle gösterilir. I. bölgede (+, +), II. bölgede (−, +), III. bölgede (−, −), IV. bölgede (+, −) işaretleri bulunur. x ekseni üzerindeki noktalar (a, 0), y ekseni üzerindekiler (0, b) biçimindedir.

Nokta formülleri

• İki nokta arası uzaklık: |AB| = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
• Orta nokta: ((x₁ + x₂) ÷ 2 , (y₁ + y₂) ÷ 2)
• (a, b) noktasının x eksenine göre simetriği (a, −b), y eksenine göre (−a, b), orijine göre (−a, −b)'dir.

Eğim ve doğru denklemi

• Eğim: m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁); doğrunun x ekseniyle pozitif yönde yaptığı açının tanjantıdır.
• Eğimi m, (x₁, y₁) noktasından geçen doğru: y − y₁ = m(x − x₁)
• y = mx + n biçiminde m eğim, n y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır.
• ax + by + c = 0 biçiminde eğim −a ÷ b'dir.
• Eksenleri (a, 0) ve (0, b)'de kesen doğru: x ÷ a + y ÷ b = 1
• y = k yatay doğrudur (eğim 0); x = k dikey doğrudur (eğim tanımsız).

İki doğrunun durumu ve uzaklık

• Paralel doğrularda m₁ = m₂; dik doğrularda m₁·m₂ = −1.
• (x₀, y₀) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna uzaklığı: |ax₀ + by₀ + c| ÷ √(a² + b²)

Çözümlü örnekler

Örnek 1: A(1, 2) ve B(7, 10) noktaları için uzaklık, orta nokta ve eğim nedir?
Çözüm: |AB| = √(36 + 64) = 10; orta nokta (4, 6); eğim 8 ÷ 6 = 4/3.

Örnek 2: (2, 3) noktasından geçen, eğimi 2 olan doğrunun denklemi ve x eksenini kestiği nokta nedir?
Çözüm: y − 3 = 2(x − 2) ⇒ y = 2x − 1. y = 0 için x = 1/2; nokta (1/2, 0).

Örnek 3: y = 3x + 1 doğrusuna dik olan ve orijinden geçen doğru hangisidir?
Çözüm: 3·m = −1 ⇒ m = −1/3. Doğru y = −x/3.

Örnek 4: Orijinin 3x + 4y − 5 = 0 doğrusuna uzaklığı kaçtır?
Çözüm: |0 + 0 − 5| ÷ √(9 + 16) = 5 ÷ 5 = 1.

Sınavda dikkat

• Eğim hesabında pay ve paydada noktaların sırası aynı olmalıdır (ikisi de 2. eksi 1.).
• ax + by + c = 0 biçiminde eğim −a/b'dir; işaret hatası sık yapılır.
• Dik doğrularda eğimler çarpımı −1'dir; yalnızca ters alıp işaret değiştirmeyi unutmayın.
• Bir nokta doğru üzerindeyse koordinatları denklemi sağlar; bilinmeyen bu yolla bulunur.