Asal Çarpanlar ve Çarpan Sayısı

Asal sayılar

1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

• En küçük asal sayı 2'dir ve tek çift asal sayıdır.
• 1 asal sayı değildir.
• Ortak böleni yalnız 1 olan sayılara aralarında asal denir (8 ve 15 gibi). Ardışık iki doğal sayı her zaman aralarında asaldır.

Asal çarpanlara ayırma

Her doğal sayı asal sayıların kuvvetlerinin çarpımı olarak tek biçimde yazılır: 360 = 2³ · 3² · 5. Bölme merdiveni ile en küçük asaldan başlanarak bölünür.

Pozitif bölen (çarpan) sayısı

A = a^x · b^y · c^z (a, b, c farklı asallar) ise:

• Pozitif bölen sayısı = (x + 1)(y + 1)(z + 1)
• Tam sayı bölen sayısı = 2 · (x + 1)(y + 1)(z + 1)
• Asal olmayan pozitif bölen sayısı = pozitif bölen sayısı − asal bölen sayısı
• Pozitif bölenlerin toplamı = (1 + a + … + a^x)(1 + b + … + b^y)…
• Pozitif bölen sayısı tek olan sayılar tam karedir.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: 72 sayısının kaç pozitif böleni vardır?
72 = 2³ · 3² → (3 + 1)(2 + 1) = 12.

Örnek 2: 180 sayısının asal olmayan kaç pozitif böleni vardır?
180 = 2² · 3² · 5 → bölen sayısı 3 · 3 · 2 = 18; asal bölenler 2, 3, 5 → 18 − 3 = 15.

Örnek 3: 12 sayısının pozitif bölenlerinin toplamı kaçtır?
12 = 2² · 3 → (1 + 2 + 4)(1 + 3) = 7 · 4 = 28.

EBOB ve EKOK ile ilişkisi

• EBOB: ortak asal çarpanların en küçük üslüleri çarpılır.
• EKOK: tüm asal çarpanların en büyük üslüleri çarpılır.
• İki sayı için: EBOB(a, b) · EKOK(a, b) = a · b.
• Aralarında asal iki sayının EBOB'u 1, EKOK'u çarpımlarıdır.

Örnek 4: 24 = 2³ · 3 ve 36 = 2² · 3² için EBOB = 2² · 3 = 12, EKOK = 2³ · 3² = 72; 12 · 72 = 864 = 24 · 36.

Sınavda dikkat

• 1 asal değildir; 2 tek çift asaldır.
• "Tam sayı bölen" sorulursa pozitif bölen sayısı 2 ile çarpılır.
• "Asal olmayan bölen" sayısına 1 de dahildir.
• Formül uygulanmadan önce sayı mutlaka asal çarpanlarına tam ayrılmalı (4 ya da 6 bırakılmamalı).