Bölme ve Bölünebilme

Bölme işlemi

A sayısı B'ye bölündüğünde bölüm C, kalan K ise: A = B · C + K ve 0 ≤ K < B. Kalan her zaman bölenden küçüktür. Kalan 0 ise A, B'ye tam bölünür.

Bölünebilme kuralları

• 2: Birler basamağı çift (0, 2, 4, 6, 8) olmalı.
• 3: Rakamları toplamı 3'ün katı olmalı. Kalan, rakamlar toplamının 3'e bölümünden kalandır.
• 4: Son iki basamağın oluşturduğu sayı 4'ün katı olmalı.
• 5: Birler basamağı 0 veya 5 olmalı.
• 8: Son üç basamak 8'in katı olmalı.
• 9: Rakamları toplamı 9'un katı olmalı.
• 10: Birler basamağı 0 olmalı.
• 11: Sağdan başlayarak rakamlara +, −, +, − işaretleri verilir; sonuç 11'in katı (0 dahil) olmalı.

Bileşik bölünebilme

Aralarında asal sayıların çarpımına bölünebilme için her birine ayrı ayrı bölünebilme aranır:

• 6 ile: hem 2 hem 3 ile
• 12 ile: hem 3 hem 4 ile
• 15 ile: hem 3 hem 5 ile
• 18 ile: hem 2 hem 9 ile
• 36 ile: hem 4 hem 9 ile

Kalan ile ilgili kurallar

• Toplamın kalanı, kalanların toplamının kalanına eşittir.
• Çarpımın kalanı, kalanların çarpımının kalanına eşittir.
• A sayısının 6'ya bölümünden kalan 4 ise A = 6k + 4'tür; 3'e bölümünden kalan 1 olur.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: Beş basamaklı 4A72B sayısı 45 ile tam bölünüyor; A ve B sıfırdan farklı ise A kaçtır?
45 = 5 · 9. 5 ile bölünme: B = 0 veya 5; B ≠ 0 → B = 5. 9 ile bölünme: 4 + A + 7 + 2 + 5 = 18 + A, 9'un katı olmalı → A = 0 veya 9; A ≠ 0 → A = 9.

Örnek 2: Bir sayı 7'ye bölündüğünde bölüm 12, kalan 5 ise sayı kaçtır?
A = 7 · 12 + 5 = 89.

Örnek 3: 3A8 sayısı 11'e tam bölünüyorsa A kaçtır?
Sağdan: 8 − A + 3 = 11 − A; 11'in katı olmalı → A = 0 (sonuç 11) veya A = 11 olamaz. Cevap A = 0.

Ortak kalan

Bir sayı farklı sayılara bölündüğünde hep aynı kalanı veriyorsa, sayı = EKOK · k + kalan biçimindedir. Örneğin 4, 6 ve 9'a bölündüğünde 1 kalanını veren en küçük doğal sayı (1'den büyük) EKOK(4, 6, 9) + 1 = 37'dir.

Sınavda dikkat

• Kalan bölenden küçük olmalı; "en büyük kalan" bölen − 1'dir.
• 4 ve 8 kurallarında son iki / son üç basamağa bakılır, rakamlar toplamına değil.
• Bileşik bölünebilmede çarpanlar aralarında asal seçilmeli (12 için 2 ve 6 değil, 3 ve 4).
• 11 kuralında işaretler sağdan (birler basamağından) başlar.