Çarpanlara Ayırma

Çarpanlara ayırma nedir?

Bir cebirsel ifadeyi daha basit ifadelerin çarpımı biçiminde yazmaya çarpanlara ayırma denir. Sadeleştirme, denklem çözme ve hızlı hesaplamada kullanılır.

Yöntemler

• Ortak çarpan parantezi: ax + ay = a(x + y); 6x² − 9x = 3x(2x − 3).
• Gruplandırma: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y).
• İki kare farkı: a² − b² = (a − b)(a + b).
• Tam kare: a² + 2ab + b² = (a + b)²; a² − 2ab + b² = (a − b)².
• İki küp farkı/toplamı: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²); a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).

x² + bx + c üç terimlisi

Çarpımı c, toplamı b olan iki sayı (m, n) bulunur: x² + bx + c = (x + m)(x + n).

• x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
• x² − x − 12 = (x − 4)(x + 3)

ax² + bx + c üç terimlisi (a ≠ 1)

Çarpımı a · c, toplamı b olan iki sayı bulunur; orta terim bu iki sayıya bölünüp gruplandırılır. 2x² + 7x + 3: a · c = 6, toplamı 7 olan sayılar 6 ve 1 → 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3).

Çözümlü örnekler

Örnek 1: 101² − 99² işleminin sonucu kaçtır?
(101 − 99)(101 + 99) = 2 · 200 = 400.

Örnek 2: (x² − 9) / (x² + x − 6) ifadesinin sadeleşmiş hali nedir?
Pay: (x − 3)(x + 3); payda: (x + 3)(x − 2). Sonuç: (x − 3) / (x − 2).

Örnek 3: a − b = 3 ve a² − b² = 21 ise a kaçtır?
(a − b)(a + b) = 21 → a + b = 7. a − b = 3 ile toplanırsa 2a = 10 → a = 5.

Değişken değiştirme

Tekrar eden ifade tek harfle gösterilerek ayrılabilir. Örneğin x⁴ − 5x² + 4 için x² = t denirse t² − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4) = (x² − 1)(x² − 4) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2) bulunur.

Sınavda dikkat

• İlk iş her zaman ortak çarpan aramaktır.
• a² + b² reel sayılarda çarpanlarına ayrılmaz.
• Sadeleştirmede yalnız çarpanlar sadeleşir; terimler (toplananlar) sadeleşmez.
• Büyük sayılı hesaplarda iki kare farkını kullanmak işlemi kısaltır.