Çokgenler ve Dörtgenler

Çokgenlerde temel bağıntılar

n kenarlı dışbükey bir çokgen için:

• İç açılar toplamı: (n − 2)·180°
• Dış açılar toplamı: her zaman 360°
• Bir köşeden çizilebilen köşegen sayısı: n − 3; bu köşegenler çokgeni n − 2 üçgene ayırır.
• Toplam köşegen sayısı: n(n − 3) ÷ 2
• Düzgün çokgende (bütün kenar ve açıları eş) bir dış açı 360° ÷ n, bir iç açı 180° − 360° ÷ n'dir.

Paralelkenar

• Karşılıklı kenarlar paralel ve eş, karşılıklı açılar eştir; komşu iki açının toplamı 180°'dir.
• Köşegenler birbirini ortalar (eş olmak zorunda değildir).
• Alan = taban × o tabana ait yükseklik. Bir köşegen paralelkenarı iki eş üçgene, iki köşegen dört eş alanlı üçgene ayırır.

Özel dörtgenler

• Dikdörtgen: Açıları 90° olan paralelkenar; köşegenler eş. Alan a·b, çevre 2(a + b), köşegen √(a² + b²).
• Eşkenar dörtgen: Kenarları eş paralelkenar; köşegenler dik kesişir. Alan = köşegenler çarpımı ÷ 2.
• Kare: Hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgendir. Alan a², köşegen a√2.
• Yamuk: Yalnız bir çift kenarı paralel. Alan = (alt taban + üst taban) ÷ 2 × yükseklik; orta taban, tabanların ortalamasıdır.
• Deltoid: İkişer komşu kenarı eş; köşegenler dik, alan = köşegenler çarpımı ÷ 2.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: İç açıları toplamı 1440° olan çokgenin kaç köşegeni vardır?
Çözüm: (n − 2)·180 = 1440 ⇒ n − 2 = 8 ⇒ n = 10. Köşegen sayısı 10·7 ÷ 2 = 35.

Örnek 2: Bir dış açısı 24° olan düzgün çokgenin kenar sayısı ve bir iç açısı nedir?
Çözüm: n = 360 ÷ 24 = 15. Bir iç açı 180 − 24 = 156°.

Örnek 3: Bir paralelkenarın bir açısı komşu açısının 2 katıdır. Açılar kaç derecedir?
Çözüm: Komşu açılar bütünlerdir: x + 2x = 180 ⇒ x = 60. Açılar 60°, 120°, 60°, 120°.

Örnek 4: Kenarları 6 ve 8 olan dikdörtgenin köşegeni, alanı ve çevresi nedir?
Çözüm: Köşegen √(36 + 64) = 10, alan 48, çevre 28.

Sınavda dikkat

• Dış açılar toplamı kenar sayısından bağımsız olarak 360°'dir; kenar sayısını bulmanın en kısa yolu dış açıdır.
• Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar ama eş değildir; eşlik dikdörtgen ve karede vardır.
• Köşegenleri dik olan dörtgenler (eşkenar dörtgen, kare, deltoid) için alan = köşegenler çarpımı ÷ 2.
• Her kare bir eşkenar dörtgendir; tersi doğru değildir.