Denklem Çözme

Denklem nedir?

Bilinmeyen içeren ve bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitliğe denklem denir. Denklemi doğru yapan değerlerin kümesine çözüm kümesi denir.

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem

ax + b = 0 (a ≠ 0) biçimindedir; çözümü x = −b / a'dır.

• Eşitliğin iki tarafına aynı sayı eklenir/çıkarılır, iki taraf sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılır/bölünebilir.
• Kesirli denklemlerde paydalar EKOK ile çarpılarak kesirden kurtarılır.
• a = 0 ve b = 0 ise denklemin sonsuz çözümü vardır; a = 0, b ≠ 0 ise çözüm yoktur.

İki bilinmeyenli denklem sistemleri

• Yok etme: Denklemler uygun sayılarla çarpılıp taraf tarafa toplanarak bir bilinmeyen yok edilir.
• Yerine koyma: Bir denklemden bir bilinmeyen çekilip diğerinde yerine yazılır.
• ax + by = c ve dx + ey = f sistemi için a/d = b/e ≠ c/f ise çözüm yoktur; a/d = b/e = c/f ise sonsuz çözüm vardır.

İkinci dereceden denklemler (temel)

ax² + bx + c = 0 denklemi çarpanlara ayrılarak çözülür: çarpım sıfırsa çarpanlardan en az biri sıfırdır. Ayrılamıyorsa diskriminant kullanılır: Δ = b² − 4ac; Δ > 0 iki farklı, Δ = 0 çakışık (tek), Δ < 0 reel kök yok. Kökler x = (−b ± √Δ) / 2a. Kökler toplamı −b/a, çarpımı c/a'dır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: x/2 + x/3 = 10 ise x kaçtır?
EKOK 6 ile çarp: 3x + 2x = 60 → 5x = 60 → x = 12.

Örnek 2: x + y = 11 ve 2x − y = 4 ise x · y kaçtır?
Taraf tarafa toplanırsa 3x = 15 → x = 5, y = 6 → x · y = 30.

Örnek 3: x² − 5x + 6 = 0 denkleminin kökleri nedir?
(x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2 veya x = 3. Çözüm kümesi {2, 3}.

Problemleri denkleme dönüştürme

• Bilinmeyene harf verilir (çoğu zaman en küçük ya da istenen nicelik).
• "Fazlası", "eksiği", "katı", "yarısı" ifadeleri işlemlere çevrilir: "bir sayının 3 katının 5 eksiği" = 3x − 5.
• Kurulan denklem çözülür, sonuç sorunun istediği niceliğe göre yorumlanır.

Örnek 4: Bir sayının 3 katının 5 eksiği, aynı sayının 7 fazlasına eşitse sayı kaçtır?
3x − 5 = x + 7 → 2x = 12 → x = 6.

Sınavda dikkat

• Kesirli denklemde paydayı sıfır yapan değer çözüm olamaz.
• Bir tarafı çarparken eşitliğin tüm terimlerini çarp.
• Bulunan değeri ilk denklemde yerine koyarak kontrol et.
• Sistemlerde istenen ifade (x + y, x · y) çoğu zaman bilinmeyenleri tek tek bulmadan da elde edilebilir.