Faktöriyel

Tanım

1'den n'ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir: n! = 1 · 2 · 3 · … · n.

• 0! = 1 ve 1! = 1 (tanım gereği)
• 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040
• Negatif sayıların faktöriyeli tanımlı değildir.

Temel özellikler

• n! = n · (n − 1)!: 7! = 7 · 6!
• Faktöriyelli kesirlerde büyük faktöriyel küçüğe kadar açılır: 10! / 8! = 10 · 9 = 90.
• Toplama ve çıkarmada ortak çarpan parantezine alınır: 6! + 5! = 5!(6 + 1) = 7 · 5!.
• (a + b)! ≠ a! + b!; (a · b)! ≠ a! · b!.

Sondaki sıfır sayısı

n! sayısının sonundaki sıfır sayısı, çarpımdaki 5 çarpanı sayısına eşittir (2 çarpanı her zaman daha fazladır). n sürekli 5'e bölünür, tam bölümler toplanır.

• 25! için: 25/5 = 5, 5/5 = 1 → 5 + 1 = 6 sıfır.
• Aynı yöntem, n! içinde herhangi bir p asalının kuvvetini bulmak için de kullanılır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: (8! − 7!) / 6! işleminin sonucu kaçtır?
8! − 7! = 7!(8 − 1) = 7 · 7!; 7 · 7! / 6! = 7 · 7 = 49.

Örnek 2: 100! sayısının sonunda kaç sıfır vardır?
100/5 = 20, 20/5 = 4; 4, 5'ten küçük olduğundan durulur. Toplam 20 + 4 = 24.

Örnek 3: 20! sayısı 3ⁿ ile tam bölünüyorsa n en çok kaçtır?
20/3 → 6, 6/3 = 2; 2, 3'ten küçük olduğundan durulur. n = 6 + 2 = 8.

Faktöriyelli denklemler

Bilinmeyen faktöriyel içinde ise ifade sadeleştirilip ardışık sayıların çarpımına dönüştürülür. Örneğin (n + 1)! / (n − 1)! = 30 → (n + 1) · n = 30 = 6 · 5 → n = 5. Ardışık sayıların çarpımı olarak yazmak çözümü hızlandırır.

Ayrıca n! sayısının pozitif bölen sayısı da asal çarpanlar bulunarak hesaplanır: 6! = 720 = 2⁴ · 3² · 5 → (4 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 30 pozitif bölen.

Sınavda dikkat

• 0! = 1'dir, 0 değildir.
• Bölme merdiveninde tam kısım alınır; bölüm bölenden küçük olunca durulur.
• Faktöriyelli toplamlarda önce en küçük faktöriyel ortak paranteze alınır.
• n ≥ 5 için n! sayısının birler basamağı 0'dır; 1! + 2! + 3! + 4! = 33 olduğundan 1! + 2! + … + n! toplamının birler basamağı 3 olur.