Kesir Problemleri

Temel mantık

Kesir problemlerinde bütün genellikle x (ya da kesirlerin paydalarının ortak katı) seçilir. En kritik nokta, kesrin neyin kesri olduğudur: bütünün mü, yoksa kalanın mı?

• Bir bütünün a/b'si: x · a/b
• Bütünün a/b'si harcanırsa kalan: x · (1 − a/b)
• "Kalanın" c/d'si harcanırsa: kalan · c/d; yeni kalan: kalan · (1 − c/d)
• Ardışık kalanlar çarpılarak bulunur: x · (1 − a/b) · (1 − c/d)

Pratik yollar

• Paydaların EKOK'unu bütün seçmek kesirsiz işlem yapmayı sağlar (ör. 1/3 ve 1/4 varsa bütüne 12k de).
• Depo/havuz sorularında "a/b'si dolu iken k litre eklenince c/d'si doluyor" ise (c/d − a/b) · kapasite = k.
• Zıplayan top sorularında her yükseliş bir önceki yüksekliğin aynı kesri kadardır; n. yükseliş = h · (kesir)ⁿ.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: Bir memur maaşının 1/3'ünü kiraya, kalanın 1/4'ünü faturalara ayırıyor. Geriye 9.000 TL kaldığına göre maaşı kaç TL'dir?
Çözüm: Kira sonrası kalan 2x/3. Faturadan sonra kalan 2x/3 · 3/4 = x/2. x/2 = 9.000 ⇒ x = 18.000 TL.

Örnek 2: 1/3'ü dolu olan bir depoya 40 litre su eklenince deponun 5/6'sı doluyor. Deponun tamamı kaç litredir?
Çözüm: 5/6 − 1/3 = 5/6 − 2/6 = 1/2. Kapasitenin yarısı 40 litre ⇒ kapasite 80 litre.

Örnek 3: Bırakıldığı yüksekliğin 2/3'ü kadar zıplayan bir top 27 m yükseklikten bırakılıyor. Üçüncü yükselişi kaç metredir?
Çözüm: 27 · 2/3 = 18, 18 · 2/3 = 12, 12 · 2/3 = 8 m. Kısaca 27 · (2/3)³ = 8.

Kesirlerle işlem hatırlatması

• Toplama/çıkarmada paydalar eşitlenir; çarpmada pay paya, payda paydaya çarpılır.
• Bölmede ikinci kesir ters çevrilip çarpılır.
• Bir sayının a/b'si k ise sayı k · b / a'dır.

Kesir sorularında model kurma

Uzun cümleli sorularda her adımda elde kalan miktarı bir satıra yazmak işi kolaylaştırır. Örneğin "önce 1/4'ü, sonra kalanın 2/3'ü kullanıldı" ifadesi için: başlangıç 12k, ilk kullanım 3k (kalan 9k), ikinci kullanım 6k (kalan 3k). Böylece kalan miktarın bütünün 1/4'ü olduğu doğrudan görülür. Bütünü paydaların EKOK'unun katı (12k) seçmek kesirli sayılarla uğraşmayı ortadan kaldırır.

Sınavda dikkat

• "Kalanın" kelimesi geçiyorsa kesir bütüne değil, o anda kalan miktara uygulanır.
• "Tamamının" ve "kalanın" ifadelerini soruda işaretleyerek oku.
• Zıplayan topta toplam alınan yol sorulursa iniş ve çıkışlar ayrı ayrı eklenir.
• Sonucu kontrol et: bulduğun bütünü soruya koyunca kalan doğru çıkmalı.