Köklü Sayılar

Tanım

xⁿ = a eşitliğini sağlayan x'e a'nın n'inci dereceden kökü denir ve ⁿ√a ile gösterilir. Kare kök için derece yazılmaz: √a.

• ⁿ√(a^m) = a^m/n (köklü ifade üslü biçimde yazılabilir).
• Çift dereceli kökün içi negatif olamaz (reel sayılarda); tek dereceli kökün içi negatif olabilir: ³√(−8) = −2.
• √(a²) = |a|; tek derecede ³√(a³) = a.

Kök dışına çıkarma ve içine alma

• √(a² · b) = a√b (a ≥ 0): √72 = √(36 · 2) = 6√2.
• a√b = √(a² · b) (a ≥ 0): 3√2 = √18.

İşlemler

• Toplama/çıkarma: yalnız kök içi ve derecesi aynı olanlar toplanır: 3√5 + 2√5 = 5√5. √2 + √3 ≠ √5.
• Çarpma: √a · √b = √(a · b) (a, b ≥ 0)
• Bölme: √a / √b = √(a / b)
• Dereceler farklıysa ortak dereceye (EKOK) getirilir: √2 · ³√2 = ⁶√8 · ⁶√4 = ⁶√32.

Paydayı kökten kurtarma (eşlenik)

• 1/√a = √a / a
• 1/(√a − √b) = (√a + √b) / (a − b); eşlenik ile çarpılır.

Sıralama

Köklü sayılar aynı dereceye getirilip kök içleri karşılaştırılır; ya da sayılar kök içine alınır: 2√3 = √12, 3√2 = √18 → 3√2 > 2√3.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: √50 + √18 − √8 işleminin sonucu kaçtır?
5√2 + 3√2 − 2√2 = 6√2.

Örnek 2: 6 / (√5 − √2) ifadesinin paydasını kökten kurtarın.
Eşlenik (√5 + √2) ile çarpılır: 6(√5 + √2) / (5 − 2) = 2(√5 + √2).

Örnek 3: √(0,09) + √(0,16) kaçtır?
0,3 + 0,4 = 0,7.

İç içe kökler ve tam kare kökler

• √(a + b + 2√(ab)) = √a + √b; √(a + b − 2√(ab)) = √a − √b (a > b).
• Örnek: √(7 + 2√10) = √5 + √2, çünkü 5 + 2 = 7 ve 5 · 2 = 10.
• Sık kullanılan değerler: √2 ≈ 1,41; √3 ≈ 1,73; √5 ≈ 2,24.

Sınavda dikkat

• √a + √b ≠ √(a + b); kök içleri aynı olmadan toplama yapılmaz.
• √(x²) = |x|; x negatifse sonuç −x'tir.
• Eşlenikle çarpınca payda (a − b) olur; işaret sırasına dikkat et.
• Ondalıklı kök içlerinde basamak sayısı çift olmalı: √0,09 = 0,3 ama √0,9 ≠ 0,3.