Mutlak Değer

Tanım

Bir sayının sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir ve |x| ile gösterilir. Uzaklık negatif olamayacağından |x| ≥ 0'dır.

• x ≥ 0 ise |x| = x
• x < 0 ise |x| = −x (ör. |−5| = 5)
• |a − b|, sayı doğrusunda a ile b arasındaki uzaklıktır.

Özellikler

• |x| = |−x|; |a − b| = |b − a|
• |a · b| = |a| · |b|; |a / b| = |a| / |b| (b ≠ 0)
• |x|² = x²; √(x²) = |x|
• |a + b| ≤ |a| + |b| (üçgen eşitsizliği)

Mutlak değerli denklemler

• |x| = a (a > 0) ise x = a veya x = −a.
• |x| = 0 ise x = 0; |x| = a (a < 0) ise çözüm yoktur.
• |f(x)| = |g(x)| ise f(x) = g(x) veya f(x) = −g(x).

Mutlak değerli eşitsizlikler

• |x| < a (a > 0) ise −a < x < a
• |x| > a (a > 0) ise x > a veya x < −a

Mutlak değerden çıkarma

İçerideki ifadenin işareti belirlenir: pozitifse aynen, negatifse −1 ile çarpılarak çıkar. Örneğin a < 0 < b ise |a − b| = b − a.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: |2x − 3| = 7 denkleminin çözüm kümesi nedir?
2x − 3 = 7 → x = 5; 2x − 3 = −7 → x = −2. Çözüm kümesi {−2, 5}.

Örnek 2: |x − 4| < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?
−3 < x − 4 < 3 → 1 < x < 7: 2, 3, 4, 5, 6 → 5 tam sayı.

Örnek 3: x < 0 < y ise |x| + |y − x| ifadesinin eşiti nedir?
|x| = −x; y − x > 0 → |y − x| = y − x. Toplam: −x + y − x = y − 2x.

Uzaklık yorumu ve en küçük değer

• |x − a| + |x − b| ifadesi x, a ile b arasındayken en küçük değerini alır ve bu değer |a − b|'dir.
• |x − 2| + |x − 8| için en küçük değer 8 − 2 = 6'dır (2 ≤ x ≤ 8 için).
• |x| = |y| ise x = y veya x = −y'dir.

Sınavda dikkat

• Mutlak değer bir uzaklıktır; negatif olamaz. |x| = −3 gibi denklemin çözümü yoktur.
• "<" ise aralık "arası", ">" ise aralık "dışı"dır.
• Çıkarmadan önce içerinin işaretini mutlaka belirle.
• √(x²) = x değil, |x|'tir.