Özdeşlikler

Özdeşlik nedir?

Değişkenlere verilen her değer için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir. Denklemden farkı budur: denklem yalnız bazı değerler için sağlanır, özdeşlik ise her değer için. Özdeşlikler hem çarpanlara ayırmada hem de uzun hesapları kısaltmada kullanılır.

Temel özdeşlikler

• Tam kare (toplam): (a + b)² = a² + 2ab + b²
• Tam kare (fark): (a − b)² = a² − 2ab + b²
• İki kare farkı: a² − b² = (a − b)(a + b)
• Toplamın küpü: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• Farkın küpü: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
• İki küp toplamı: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
• İki küp farkı: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
• Üç terimin karesi: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc)

Sık kullanılan türetilmiş eşitlikler

• a² + b² = (a + b)² − 2ab = (a − b)² + 2ab
• (a + b)² − (a − b)² = 4ab
• x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 ve x² + 1/x² = (x − 1/x)² + 2
• a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b)
• (a − b)² = (b − a)² olduğundan kare içinde işaret sırası önemli değildir; küpte ise (a − b)³ = −(b − a)³.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: a + b = 7 ve a · b = 10 ise a² + b² kaçtır?
Çözüm: a² + b² = (a + b)² − 2ab = 49 − 20 = 29.

Örnek 2: x − 1/x = 3 ise x² + 1/x² kaçtır?
Çözüm: (x − 1/x)² = x² − 2 + 1/x² olduğundan x² + 1/x² = 9 + 2 = 11.

Örnek 3: 101² − 99² işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: İki kare farkı: (101 − 99)(101 + 99) = 2 · 200 = 400. Kareleri tek tek hesaplamaya gerek yoktur.

Örnek 4: a − b = 2 ve a² − b² = 20 ise a kaçtır?
Çözüm: a² − b² = (a − b)(a + b) ⇒ 20 = 2(a + b) ⇒ a + b = 10. a − b = 2 ile toplanırsa 2a = 12, a = 6.

Sınavda dikkat

• (a + b)² ile a² + b² aynı şey değildir; aradaki fark 2ab'dir.
• Büyük sayıların kare farkı soruluyorsa önce a² − b² = (a − b)(a + b) aklına gelsin.
• x + 1/x verilip x² + 1/x² sorulursa 2 çıkarılır; x − 1/x verilirse 2 eklenir.
• a³ + b³ açılımında ortadaki terim −ab, a³ − b³ açılımında +ab'dir; işaretleri karıştırma.
• Kesirli ifadelerde sadeleştirme yapmadan önce pay ve paydayı özdeşliklerle çarpanlarına ayır.