Sayı Dizileri

Dizi ve genel terim

Belirli bir kurala göre sıralanmış sayılara sayı dizisi denir. Dizinin n'inci terimi a_n ile gösterilir; kuralı veren ifadeye genel terim denir. Örneğin a_n = 3n + 1 kuralıyla dizi 4, 7, 10, 13, … biçiminde ilerler. Soruda kural verilmemişse ardışık terimler arasındaki ilişki aranır: fark mı sabit, oran mı sabit, yoksa farkların kendisi mi bir düzen izliyor?

Aritmetik dizi

Ardışık iki terim arasındaki fark sabitse dizi aritmetiktir; bu sabite ortak fark (d) denir.

• Genel terim: a_n = a₁ + (n − 1)·d
• Terim sayısı: (son terim − ilk terim) ÷ d + 1
• Terimler toplamı: n·(ilk terim + son terim) ÷ 2
• Ortadaki terim, kendisine eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasıdır.

Geometrik dizi

Her terim bir öncekinin sabit bir sayıyla çarpımıysa dizi geometriktir; bu sabite ortak oran (r) denir. Genel terim a_n = a₁·r^{n − 1} biçimindedir.

Sık kullanılan toplamlar

• 1 + 2 + … + n = n(n + 1) ÷ 2
• 2 + 4 + … + 2n = n(n + 1)
• 1 + 3 + … + (2n − 1) = n²
• 1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1) ÷ 6

Örüntü türleri

• Farkların farkı: Ardışık farklar 1, 3, 5, 7… gibi kendi içinde düzenliyse bir sonraki fark bulunup eklenir.
• İç içe iki dizi: Tek sıradaki ve çift sıradaki terimler ayrı kurallarla ilerleyebilir.
• Önceki iki terime bağlı: Her terim önceki iki terimin toplamı (Fibonacci benzeri) olabilir.
• Karışık işlem: ×2, +1, ×2, +1 gibi sırayla değişen işlemler.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: 7, 11, 15, …, 83 dizisinin terim sayısı ve toplamı nedir?
Çözüm: d = 4. Terim sayısı = (83 − 7) ÷ 4 + 1 = 19 + 1 = 20. Toplam = 20·(7 + 83) ÷ 2 = 900.

Örnek 2: 2, 6, 18, 54, … dizisinin 6. terimi kaçtır?
Çözüm: r = 3. a₆ = 2·3⁵ = 2·243 = 486.

Örnek 3: 3, 4, 7, 12, 19, ? dizisinde soru işareti yerine ne gelir?
Çözüm: Farklar 1, 3, 5, 7 olup tek sayılarla artmaktadır; sıradaki fark 9'dur. 19 + 9 = 28.

Sınavda dikkat

• Terim sayısında sondaki +1 unutulmamalıdır; 7'den 83'e 4'er artışla 19 değil 20 terim vardır.
• Fark sabit değilse hemen oranı ve farkların farkını deneyin.
• Tek ve çift sıradaki terimleri ayrı ayrı inceleyin; iç içe geçmiş iki dizi sık kullanılan bir kalıptır.
• Toplam formülünü kullanmadan önce dizinin gerçekten aritmetik olduğundan emin olun.