Üçgende Alan

Temel alan formülü

Üçgenin alanı taban × o tabana ait yükseklik ÷ 2 ile bulunur. Yükseklik, tabanın karşısındaki köşeden tabana (ya da uzantısına) inen dikmedir; geniş açılı üçgende yükseklik üçgenin dışına düşebilir.

• Dik üçgende alan = dik kenarlar çarpımı ÷ 2 = hipotenüs × hipotenüse ait yükseklik ÷ 2.
• Eşkenar üçgende (kenar a) alan = a²√3 ÷ 4.

Diğer alan formülleri

• İki kenar ve aradaki açı: Alan = (1/2)·b·c·sin A. Sık kullanılan değerler: sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, sin 90° = 1. Ayrıca sin A = sin(180° − A).
• Heron formülü: u = (a + b + c) ÷ 2 (yarı çevre) olmak üzere Alan = √[u(u − a)(u − b)(u − c)].
• İç teğet çember: Alan = r·u (r iç teğet çemberin yarıçapı).

Alan oranları

• Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları oranı tabanları oranına eşittir. Bir kenar üzerindeki noktayla bölünen üçgende alanlar, parçaların oranındadır.
• Kenarortay üçgeni eşit alanlı iki parçaya ayırır; üç kenarortay üçgeni 6 eş alanlı parçaya böler.
• Ağırlık merkezinin köşelerle oluşturduğu üç üçgenin her biri tüm alanın üçte biridir.
• Benzer üçgenlerde alanlar oranı, benzerlik oranının karesidir.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: İki kenarı 6 ve 8 cm, bu kenarlar arasındaki açı 30° olan üçgenin alanı nedir?
Çözüm: (1/2)·6·8·(1/2) = 12 cm².

Örnek 2: Kenarları 5, 5 ve 6 olan üçgenin alanı nedir?
Çözüm: u = 8. Alan = √(8·3·3·2) = √144 = 12. Kontrol: ikizkenar üçgende tabana inen yükseklik √(25 − 9) = 4, alan 6·4 ÷ 2 = 12.

Örnek 3: ABC üçgeninde D noktası BC kenarı üzerindedir; |BD| = 4, |DC| = 8 ve Alan(ABC) = 36'dır. ABD ve ADC üçgenlerinin alanları nedir?
Çözüm: Yükseklikler ortak olduğundan alanlar 4 : 8 = 1 : 2 oranındadır. Alan(ABD) = 12, Alan(ADC) = 24.

Örnek 4: Kenarları 3, 4, 5 olan dik üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı kaçtır?
Çözüm: Alan 6, yarı çevre 6. 6 = r·6 ⇒ r = 1.

Sınavda dikkat

• Yükseklik, seçilen tabana ait olmalıdır; başka kenara ait yükseklikle çarpmak sık yapılan hatadır.
• Ortak köşeli ve tabanları aynı doğru üzerindeki üçgenlerde alan oranı doğrudan taban oranıdır.
• Heron'da a, b, c değil yarı çevre u kullanılır; önce u'yu hesaplayın.
• Kenarortay sorularında 6 eş parça bilgisi çoğu zaman uzun hesabı gereksiz kılar.