Üçgende Benzerlik

Benzerlik ve eşlik

Karşılıklı açıları eş, karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir ve ABC ∼ DEF biçiminde yazılır. Harflerin sırası karşılık gelen köşeleri gösterir. Kenar oranı k'ye benzerlik oranı denir; k = 1 ise üçgenler eştir.

Benzerlik kuralları

• Açı–Açı (AA): İki açısı karşılıklı eş olan üçgenler benzerdir (üçüncü açı kendiliğinden eşit olur).
• Kenar–Açı–Kenar (KAK): İki kenarı orantılı ve bu kenarlar arasındaki açıları eş olan üçgenler benzerdir.
• Kenar–Kenar–Kenar (KKK): Üç kenarı da aynı oranda orantılı olan üçgenler benzerdir.

Benzerlik oranının sonuçları

• Karşılıklı yükseklik, kenarortay, açıortay uzunlukları ve çevreler oranı k'dir.
• Alanlar oranı k²'dir.

Sık kullanılan benzerlik şekilleri

• Temel benzerlik: ABC üçgeninde DE ∥ BC (D ∈ AB, E ∈ AC) ise ADE ∼ ABC ve |AD| ÷ |AB| = |AE| ÷ |AC| = |DE| ÷ |BC|.
• Tales: Paralel doğrular, kendilerini kesen iki doğru üzerinde orantılı parçalar ayırır.
• Kelebek (kum saati): AB ∥ CD iken AC ve BD doğruları E'de kesişirse ABE ∼ CDE; oran |AB| ÷ |CD|'dir.
• Dik üçgende yükseklik: Hipotenüse inen yükseklik, birbirine ve büyük üçgene benzer iki dik üçgen oluşturur (Öklid bağıntılarının kaynağı).
• Gölge problemleri: Aynı anda güneş ışınları paralel geldiğinden boy ve gölge oranları eşittir.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: ABC üçgeninde DE ∥ BC, |AD| = 4, |DB| = 6 ve |DE| = 6'dır. |BC| kaçtır?
Çözüm: |AB| = 10. 4 ÷ 10 = 6 ÷ |BC| ⇒ |BC| = 15.

Örnek 2: Benzerlik oranı 2/3 olan iki üçgenden küçüğünün alanı 20 cm² ise büyüğünün alanı nedir?
Çözüm: Alan oranı 4/9. 20 ÷ büyük = 4/9 ⇒ büyük alan = 45 cm².

Örnek 3: Boyu 1,8 m olan bir kişinin gölgesi 1,2 m iken aynı anda bir ağacın gölgesi 8 m'dir. Ağacın boyu kaç metredir?
Çözüm: 1,8 ÷ 1,2 = x ÷ 8 ⇒ x = 8·1,5 = 12 m.

Örnek 4: ABCD yamuğunda AB ∥ DC, |AB| = 6, |DC| = 9 ve köşegenler E'de kesişiyor. |AE| ÷ |EC| kaçtır?
Çözüm: Kelebek benzerliğinden |AE| ÷ |EC| = 6 ÷ 9 = 2/3.

Sınavda dikkat

• Temel benzerlikte oranı kurarken küçük üçgenin kenarını büyük üçgenin tüm kenarına bölün; |AD| ÷ |DB| oranı DE ÷ BC'ye eşit değildir.
• Alan oranı k² olduğundan, alan oranı verilip kenar soruluyorsa karekök alınır.
• Benzerlik yazımında köşe sırası önemlidir; eş açıların karşısındaki kenarları eşleyin.
• Paralellik verilen her soruda önce benzer üçgen çiftini işaretleyin.